Quédate quieto

• Va un reto imposible.
• ¡No existen los imposibles, acepto el reto!
• Te reto a que te quedes quieto durante un segundo.
• ¡Trivial!, va: cero…uno, ¡listo! Aquí estoy y no moví ni una pestaña.
• Perdiste, te moviste y no un milímetro, un centímetro, ni un metro. Durante ese segundo te moviste trescientos mil kilómetros.
• ¡Cómo! No inventes, me quedé en la misma postura en la misma silla dentro de la misma casa, no me moví a ninguna parte. ¿Será que te refieres a que la Tierra giró sobre su eje, se desplazó alrededor del Sol y éste alrededor de la galaxia?
• No me refiero a la rotación ni translación de la Tierra ni al movimiento del Sol.
• ¿Entonces?
• Me refiero a que te moviste trescientos mil kilómetros en el espacio-tiempo durante un segundo, desde el pasado hacia el futuro, y nunca más repetirás dicho paseo. (Espero hagas muchos más).
• Me estás haciendo trampa. No me moví, simplemente pasó el tiempo, y el tiempo se mide en segundos, no en kilómetros.
• Eso es lo que se creía en la antigüedad, pero desde principios del Siglo XX sabemos que el tiempo y la distancia deben medirse con las mismas unidades, pues así la física se simplifica. Un segundo corresponde aproximadamente a 300,000 kilómetros (exactamente, a 299,792.458 km). Así, eso nos permite hacer geometría del espacio-tiempo y comparar mediciones realizadas por distintos observadores. Así como decir 10 pasos al norte puede significar algo distinto para quien se orienta con una brújula magnética que para quien se orienta con el eje de rotación de la Tierra, o con el sol matutino, un segundo para un observador puede significar un tiempo distinto que para otros observadores que pasen volando en naves espaciales, pero hay teoremas similares al teorema de Pitágoras que nos permiten comparar de manera objetiva las distancias entre dos eventos, sin importar quién los mida.
• Y ¿cuál es ese teorema?
• Imagina un triángulo en el espacio-tiempo formado por líneas rectas que unen mi posición actual, tu posición actual y tu posición dentro de un segundo (suponiendo que te quedas tan quieto como puedas). Esas líneas formarían un triángulo rectángulo en el cual la diferencia de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
• Dirás la suma.
• No, la diferencia, pues el espacio-tiempo se rige por la métrica de Minkowsky, no la de Euclides. Por lo mismo, la rapidez con que recorres el espacio-tiempo es c=300,000 km/s, ya sea que te quedes sentado o estés corriendo, vayas en un tren, en un avión o en una nave espacial. Tu velocidad en el espacio puede cambiar, pero tu rapidez en el espacio tiempo no cambia.

Estoy atrapado

• Como los cuadrados de los catetos son una cantidad positiva, y el cuadrado de la hipotenusa también, la velocidad con la que nos movemos en el espacio no puede superar la velocidad c, que es la misma que la velocidad de la luz. Por lo tanto, tú y yo estamos atrapados en nuestro cono de luz futuro del que jamás podremos salir.
• ¿Un cono en el espacio-tiempo?
• Sí. Imagina que prendes e inmediatamente después apagas un foco. Formarías así un pulso luminoso que se alejaría del foco, 300,000 km cada segundo en todas las direcciones. Así, dos segundos después, el destello ocupará una esfera de radio 600,000km. Tres segundos después, una esfera de 900,000km y así sucesivamente. Si apilas estas esferas en un diagrama de espacio tiempo verás que forman un cono. Te muestro una figura (Figura 1Error: Reference source not found).

Figura 1. Cono de luz. Los círculos en el plano X-Y representan la posición ocupada por un pulso luminoso a distintos tiempos t. Los cilindros proyectan cada círculo hacia el plano T=t donde T es el eje del tiempo. La unión de todos los círculos forma un cono, el cono de luz, del que nada escapa.

• Pero esa figura muestra círculos no esferas.
• Sí, pero es por mi incapacidad de dibujar figuras en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Por eso, reduje una dimensión espacial y dibujé un cono formado de círculos y no un hipercono formado de esferas. Espero que igual puedas entender la analogía.
• ¿Y para qué te quieres escapar del cono?
• Si quisiera viajar a la estrella más cercana a la Tierra no podría llegar antes de cuatro años; no podría llegar antes de que la línea de universo de la estrella cruce mi cono de luz, aun empleando la tecnología más sofisticada que se pueda concebir, la cual no existe ahora, y cuando regrese a la Tierra todos mis amigos serán viejitos, si es que queda alguno. Además, si volteo a ver la información que me llega, toda está atrapada en mi cono de luz pasado. Los eventos fuera de mi cono de luz, ni los puedo afectar ni puedo llegar a ellos, ni me pueden afectar. El universo es grande, pero sólo podemos interactuar con una pequeña parte del mismo.

Escape

• Ahora, toma una pelota y aviéntala hacia arriba. Ten cuidado de que no haya casas ni otras personas cerca. ¿Qué sucedería?
• Esto es fácil. La pelota subirá, disminuirá su velocidad hasta detenerse y empezará a caer hacia abajo donde podría atraparla.
• ¿Y sí la avientas con mayor velocidad?
• Pues simplemente, tardaría más en caer. Pero el hecho es que todo lo que sube, debe bajar, tarde o temprano.
• No, las cosas no son así. Si la aviento con una altísima velocidad, mayor que la velocidad de escape de la Tierra (y claro, la debo aventar desde más allá de la atmósfera para que no la frene la fricción con el aire) no regresaría.
• Y ¿qué es eso de la velocidad de escape?
• Seguramente recuerdas que una masa m en movimiento con velocidad tiene una energía cinética K=mv2/2, simplemente por moverse.
• Y una masa cerca de la superficie de la Tierra tiene una energía potencial, de acuerdo a su altura.
• Ya recuerdo, V=mgz, donde m es la masa, g la aceleración de la gravedad y z la altura respecto al suelo.
• Sí, pero esa fórmula es aproximada. La fórmula correcta es V=-GMm/r, donde G es la constante de la gravitación universal, que descubrió Newton, M la masa de la Tierra y r la distancia al centro de la Tierra. La energía total K+V no cambia conforme un proyectil sube y baja en el vacío. Conforme la masa sube, V aumenta y K Si K llega a cero, la masa dejaría de subir y empezaría a caer, pero si K+V es positivo, K no se puede hacer cero y la masa no regresaría más a la Tierra. Se puede escapar.
• ¿Y qué velocidad es esa?
• En la superficie de la Tierra podemos despejar la velocidad v de igualar mv2/2-GMm/r=0, y obtener v=11,186m/s=40,370 km/h. No parece ser nada lenta.

Curvatura del espacio tiempo

• El ejercicio realizado arriba usa conceptos de mecánica clásica como fuerza y energía. Sin embargo, la Teoría General de la Relatividad nos dice algo mucho más raro. Nos dice que la fuerza de gravedad no existe. En realidad, las masas, la energía y el ímpetu son las fuentes en unas ecuaciones de campo cuya solución nos proporciona la curvatura del espacio tiempo. Las ecuaciones de Einstein se ven muy simples, aunque son muy difíciles de resolver en general: .
• ¿Cómo que el espacio-tiempo es curvo?

Así es. Todas las partículas se mueven a lo largo de las líneas más rectas que se pueden construir en el espacio-tiempo curvo. Estas líneas se llaman geodésicas. Una forma de entender la curvatura es observar en cada punto el cono de luz. Si todos los conos apuntan en la misma dirección, el espacio-tiempo es plano. Si unos conos están inclinados en una dirección y otros en otra, el espacio tiempo es curvo. En la Figura Error: Reference source not found puedes ver cómo se curva el espacio-tiempo en la vecindad de una estrella. Sin embargo, si la estrella fuese tan grande que la atracción gravitacional sea mayor que las fuerzas que mantienen separados a sus átomos, o más grande aún que las fuerzas entre los nucleones, neutrones y protones, o entre sus partes, los quarks y gluones, podría no detenerse el colapso, sino hasta que se formara una singularidad en el centro, en la que las leyes de la física podrían ser muy distintas de las que conocemos. En este caso, tendríamos un agujero negro.

Figura 2. Colapso de una estrella masiva. Se muestra la materia que cae hacia el centro de la estrella debido a la atracción gravitacional entre sus partículas. La parte de abajo de la figura ilustra como los conos de luz se inclinan hacia el centro de la estrella. De manera que partículas moviéndose a lo largo de las trayectorias más rectas en esa geometría, le darían vuelta a la estrella como si existiera una fuerza gravitacional. Pero si el colapso continúa, llega un momento en que los conos de luz futuros quedan apuntando hacia el eje de la estrella. Es como si el futuro de una partícula que cae queda totalmente dentro del horizonte de eventos.

• Y este espectacular colapso, ¿a qué se debe?
• Podría ser que a una gran estrella se le haya acabado el combustible. Al enfriarse, disminuiría la presión en su centro, y entonces su campo gravitacional la haría colapsar, quizás después de explotar como una supernova. Pero lo importante es que el futuro de los conos de luz alrededor de la singularidad, en la región denotada como Horizonte de eventos, pueden estar tan inclinados que sea imposible salir de dicho horizonte. En ese caso, ninguna partícula, y ni siquiera la luz podrían salir del horizonte de eventos. Salvo por las interacciones gravitacionales, es como si la materia que atraviesa dicho horizonte desapareciera de nuestro universo. Una forma aproximada de estimar la relación entre la masa y el radio del horizonte de un agujero negro es pedir que la velocidad de escape sea igual a c, puesto que nada puede viajar más rápido que la luz.

Premios Nobel

• Pero me dijiste que me contarías del premio Nobel.
• Claro, y me distraje con muchos temas. Resulta que las Ecuaciones de Einstein se ven fáciles, pero son difíciles de resolver. Sin embargo, un colega de Einstein, Karl Schwarzschild, obtuvo en 1916 una solución exacta correspondiente a un agujero negro, pero haciendo suposiciones como que el agujero negro no rota, no tiene campo magnético, y que es isotrópico. Muchos físicos, incluyendo Einstein, creían que en situaciones más realistas, no podrían existir. Roger Penrose (Figura 3) demostró en 1965 que los agujeros negros sí pueden existir, que son estables y que esconden una singularidad en su interior en la que las leyes de la Física son desconocidas. Por otro lado, Reinhard Genzel (Figura 4) y Andrea Ghez (Figura 5) apuntaron los telescopios más grandes y poderosos existentes para ver el centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Curiosamente para ver una región más pequeña se requieren telescopios más grandes que para ver una región grande. Viendo a través del polvo que rodea el centro de la galaxia usando para ello luz infrarroja, i.e., más roja que el rojo, encontraron un conjunto de estrellas que orbitan al núcleo galáctico (Figura 6), tan rápidamente que serían arrojadas si no fuera porque hay una enorme fuerza gravitacional, debida a la presencia de un agujero negro supermasivo.

Figura 3. Boceto de Roger Penrose, ganador del premio nobel de física 2020 por mostrar la existencia y estabilidad de agujeros negros.

Figura 5. Boceto de Reinhard Genzel, ganador del premio nobel de física 2020 por su observación de un agujero negro supermasivo en el núcleo de nuestra galaxia.

Figura 5. Boceto de Andrea Ghez, ganadora del premio nobel de física 2020 por su observación de un agujero negro supermasivo en el núcleo de nuestra galaxia.

Figura 6. Órbita de algunas estrellas que circulan alrededor de un agujero negro supermasivo en el núcleo de nuestra galaxia.

• Y ¿qué tan masivo es supermasivo?
• El agujero negro en el centro de nuestra galaxia tiene la misma masa que tendrían cuatro millones de soles.
• Algo leí de un resultado previo de un mexicano.
• Así es, en el año 1979 un investigador de la UNAM, el astrónomo Luis Felipe Rodríguez hizo observaciones empleando ondas de radio y predijo que debería haber una masa de alrededor de cinco millones de soles en el núcleo de nuestra galaxia, muy cercano al valor ahora reconocido.
• También me parece recordar que ya había leído algo al respecto de una imagen de alta resolución tomada a un agujero negro.
• Así es, fue publicado en la columna “La Ciencia, desde Morelos para el Mundo” donde se mencionaron los logros más importantes del 2019 (http://www.acmor.org/articulo/los-logros-mas-importantes-en-ciencia-y-tecnologia-del-2019). De hecho, las fotografías (Figura 7) fueron obtenidas por una red mundial de telescopios en la cual participó México con el Gran Telescopio Milimétrico “Alfonso Serrano” ubicado en el pico de Orizaba.

Figura 7. Imagen integrada del agujero negro en el centro de la galaxia M87. Tomada de https://apod.nasa.gov/apod/ap190411.html

Esta columna se prepara y edita semana con semana, en conjunto con investigadores morelenses convencidos del valor del conocimiento científico para el desarrollo social y económico de Morelos. Desde la Academia de Ciencias de Morelos externamos nuestra preocupación por el vacío que genera la extinción de la Secretaría de Innovación, Ciencia y Tecnología dentro del ecosistema de innovación estatal que se debilita sin la participación del Gobierno del Estado.

Agradecimientos

Este trabajo recibió apoyo parcial del proyecto DGAPA-UNAM IN111119.

Ligas de interés

1. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/summary/
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius
3. https://www.gaceta.unam.mx/luis-felipe-rodriguez-precursor-en-el-estudio-de-los-hoyos-negros/ (Luis Felipe Rodríguez fue precursor en el estudio de los hoyos negros - Gaceta UNAM)